nach Hause: 「自宅へ」という意味で、動きや方向性を示します。家に向かっている行動に使います。
zu Hause: 「自宅で」という意味です。何が自宅で起きているか、自宅にいる状態を表します。
家へ帰る ：Ich gehe nach Hause
英語：I go home
「nach Hause」は「家へ」という意味で、移動を表す時に使います。例えば、誰かが仕事から帰るときや、どこからか自宅に向かう行動を示す時に使用します。文字通りには「家に向かって」という意味です。
家にいる： Ich bin zu Hause
英語：I’m at home
「zu Hause」は「家で」という意味で、場所を表す時に使います。これは、自宅にいる状態や、自宅で何かをするということを示す時に使用されます。文字通りには「家にて」という意味で、状態を表します。
前置詞「zu」「nach」が使われる理由
「zu」が使われる理由ですが、これは前置詞であり、ドイツ語では場所を示す際に様々な前置詞が使われます。
‘zu’は特定の場所や方向に向かう「に」「へ」の意味を持ち、’Hause’と組み合わさることで「家に」あるいは「家で」という意味になるわけです。同様に「nach」も方向を示す前置詞で、「へ」という意味があります。「nach Hause」は「家へ」という移動の方向性を示しています。
zuはほとんど３各支配
ドイツ語の前置詞「zu」は通常、3格（Dativ）と結びつきますが、一部の場合には4格（Akkusativ）とも結びつくことがあります。
例えば、場所を示す文脈で「zu」は3格とともに使われ、「zu der (zur) Schule gehen」（学校へ行く）のように場所への移動や方向を示すときに用います。しかし、「zu」が目的や目標を示す場合、例えば「Ich habe es zu etwas gebracht」（私は何かを成し遂げた）のように抽象的な目的を示す際には4格を伴うこともあります。
zu der Schule gehen.
Ich habe es zu etwas gebracht.
ただし、このような4格を伴う用法は決まった表現やイディオムに限られるため、基本的には「zu」は3格と共に使うことが多いです。また、これは覚えるべき例外の一つと言えます。普段の使用においては、「zu」の後には3格を使うと考えて間違いありません。